На этом уроке мы дадим определение параллелепипеда, обсудим его строение и его элементы (диагонали параллелепипеда, стороны параллелепипеда и их свойства). А также рассмотрим свойства граней и диагоналей параллелограмма. Далее решим типовую задачу на построение сечения в параллелепипеде.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Параллелепипед. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда

На этом уроке мы дадим определение параллелепипеда, обсудим его строение, свойства и его элементы (стороны, диагонали).

Параллелепипед образован с помощью двух равных параллелограммов АВСD и А 1 B 1 C 1 D 1 , которые находятся в параллельных плоскостях. Обозначение: АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 или АD 1 (рис. 1.).

2. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ()

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 10, 11, 12 стр. 50

2. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда АВСDА1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки:

а) А, С, В1

б) В1, D1 и середину ребра АА1.

3. Ребро куба равно а. Постройте сечение куба плоскостью проходящей через середины трех ребер, выходящих из одной вершины, и вычислите его периметр и площадь.

4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью параллелепипеда?

На этом уроке все желающие смогут изучить тему «Прямоугольный параллелепипед». В начале урока мы повторим, что такое произвольный и прямой параллелепипеды, вспомним свойства их противоположных граней и диагоналей параллелепипеда. Затем рассмотрим, что такое прямоугольный параллелепипед, и обсудим его основные свойства.

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Прямоугольный параллелепипед

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 и четырех параллелограммов АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DАА 1 D 1 , называется параллелепипедом (рис. 1).

Рис. 1 Параллелепипед

То есть: имеем два равных параллелограмма АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 (основания), они лежат в параллельных плоскостях так, что боковые ребра АА 1 , ВВ 1 , DD 1 , СС 1 параллельны. Таким образом, составленная из параллелограммов поверхность называется параллелепипедом .

Таким образом, поверхность параллелепипеда - это сумма всех параллелограммов, из которых составлен параллелепипед.

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

(фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)

Например:

АВСD = А 1 В 1 С 1 D 1 (равные параллелограммы по определению),

АА 1 В 1 В = DD 1 С 1 С (так как АА 1 В 1 В и DD 1 С 1 С - противоположные грани параллелепипеда),

АА 1 D 1 D = ВВ 1 С 1 С (так как АА 1 D 1 D и ВВ 1 С 1 С - противоположные грани параллелепипеда).

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Диагонали параллелепипеда АС 1 , В 1 D, А 1 С, D 1 В пересекаются в одной точке О, и каждая диагональ делится этой точкой пополам (рис. 2).

Рис. 2 Диагонали параллелепипеда пересекаются и деляться точкой пересечения пополам.

3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер параллелепипеда : 1 - АВ, А 1 В 1 , D 1 C 1 , DC, 2 - AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, 3 - АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 .

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Пусть боковое ребро АА 1 перпендикулярно основанию (рис. 3). Это означает, что прямая АА 1 перпендикулярна прямым АD и АВ, которые лежат в плоскости основания. А, значит, в боковых гранях лежат прямоугольники. А в основаниях лежат произвольные параллелограммы. Обозначим, ∠BAD = φ, угол φ может быть любым.

Рис. 3 Прямой параллелепипед

Итак, прямой параллелепипед - это параллелепипед, в котором боковые ребра перпендикулярны основаниям параллелепипеда.

Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.

Параллелепипед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямоугольный (рис. 4), если:

1. АА 1 ⊥ АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).

2. ∠ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник.

Рис. 4 Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.

Итак, прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание прямоугольного параллелепипеда - прямоугольник .

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.

АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 - прямоугольники по определению.

2. Боковые ребра перпендикулярны основанию . Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.

3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Рассмотрим, например, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ 1 и АВС.

АВ - ребро, точка А 1 лежит в одной плоскости - в плоскости АВВ 1 , а точка D в другой - в плоскости А 1 В 1 С 1 D 1 . Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А 1 АВD.

Возьмем точку А на ребре АВ. АА 1 - перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ- 1 , AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ∠А 1 АD - линейный угол данного двугранного угла. ∠А 1 АD = 90°, значит, двугранный угол при ребре АВ равен 90°.

∠(АВВ 1 , АВС) = ∠(АВ) = ∠А 1 АВD= ∠А 1 АD = 90°.

Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.

Дано: АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямоугольный параллелепипед (рис. 5).

Доказать: .

Рис. 5 Прямоугольный параллелепипед

Доказательство:

Прямая СС 1 перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой АС. Значит, треугольник СС 1 А - прямоугольный. По теореме Пифагора:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора:

Но ВС и AD - противоположные стороны прямоугольника. Значит, ВС = AD. Тогда:

Так как , а , то. Поскольку СС 1 = АА 1 , то что и требовалось доказать.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Обозначим измерения параллелепипеда АВС как a, b, c (см. рис. 6), тогда АС 1 = СА 1 = В 1 D = DВ 1 =

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Рассмотрим эти предметы:

Строительный кирпич, игральный кубик, микроволновая печь. Эти предметы объединяет форма.

Поверхность, состоящая из двух равных параллелограммов АВСD и А1В1С1D1

и четырех параллелограммов АА1В1В и ВВ1С1С, СС1D1D, АА1D1D называется параллелепипедом.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями. Грань А1В1С1D1. Грань ВВ1С1С. Грань АВСD.

При этом грани АВСD и А1В1С1D1 чаще называют основаниями, а остальные грани боковыми.

Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда. Ребро А1В1. Ребро СС1. Ребро АD.

Ребро СС1, не принадлежит основаниям, оно называются боковое ребро.

Вершины параллелограммов называют вершинами параллелепипеда.

Вершина D1. Вершина В. Вершина С.

Вершины D1 и В

не принадлежат одной грани и называются противоположными.

Параллелепипед можно изображать разными способами

Параллелепипед в основании, которого лежит ромб, При этом изображениями граней являются параллелограммы.

Параллелепипед в основании, которого лежит квадрат. Невидимые рёбра АА1, АВ, АD изображаются штриховыми линиями.

Параллелепипед в основании, которого лежит квадрат

Параллелепипед в основании, которого лежит прямоугольник или параллелограмм

Параллелепипед, у которого все грани квадраты. Чаще его называют кубом.

Все рассмотренные параллелепипеды обладают свойствами. Сформулируем и докажем их.

Свойство 1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Рассмотрим параллелепипед АВСDА1В1С1D1 и докажем, например, параллельность и равенство граней ВВ1С1С и АА1D1D.

По определению параллелепипеда грань АВСD параллелограмм, значит по свойству параллелограмма ребро ВС параллельно ребру АD.

Грань АВВ1А1 тоже параллелограмм, значит ребра ВВ1 и АА1 параллельны.

Это означает что две пересекающиеся прямые ВС и BB1 одной плоскости соответственно параллельны двум прямым АD и АА1 соответственно другой плоскости, значит плоскости АВВ1А1 и ВСС1D1 параллельны.

Все грани параллелепипеда параллелограммы а значит ВС=АD, ВВ1 =АА1.

При этом стороны углов В1ВС и А1АD соответственно сонаправлены, значит они равны.

Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма АВВ1А1 соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма ВСС1D1, значит эти параллелограммы равны.

Параллелепипед обладает ещё свойством о диагоналях. Диагональю параллелепипеда называется отрезок соединяющий не соседние вершины. На чертеж пунктирной линией показаны диагонали В1D, BD1, А1С.

Итак, свойство 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Для доказательства свойства рассмотрим четырехугольник ВВ1D1D. Его диагонали В1D, BD1 являются диагоналями параллелепипеда АВСDА1В1С1D1.

В первом свойстве мы уже выяснили, что ребро ВВ1 параллельно и равно ребру АА1, но ребро АА1 параллельно и равно ребру DD1. Следовательно рёбра ВВ1 и DD1 параллельны и равны, что доказывает четырехугольник ВВ1D1D- параллелограмм. А в параллелограмме по свойству диагонали В1D, BD1 пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.

Четырехугольник ВС1D1А также является параллелограммом и его диагонали С1А, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Диагонали параллелограмма С1А, ВD1 являются диагоналями параллелепипеда, а значит сформулированное свойство доказано.

Для закрепления теоретических знаний о параллелепипеде рассмотрим задачу на доказательство.

На рёбрах параллелепипеда отмечены точки L,M,N,P так, что BL=CM=A1N=D1P. Доказать, что ALMDNB1C1P параллелепипед.

Грань ВВ1А1А параллелограмм, значит ребро ВВ1 равно и параллельно ребру АА1, но по условию отрезки BL и A1N, значит равны и параллельны отрезки LB1 и NA.

3)Следовательно, четырехугольник LB1NA по признаку параллелограмм.

4) Так как СС1D1D-параллелограмм, значит ребро СС1 равно и параллельно ребру D1D, а СМ равно D1P по условию, значит равны и параллельны отрезки МС1и DP

Следовательно, что четырехугольник MC1PD тоже параллелограмм.

5) Углы LB1N и MC1P равны как углы с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами.

6) Мы получили, что у параллелограммов и MC1PD соответствующие стороны равны и углы между ними равны, значит параллелограммы равны.

7) Отрезки равны по условию, значит BLMC- параллелограмм и сторона BC параллельна стороне LM параллельна стороне В1С1.

8) Аналогично из параллелограмма NA1D1P следует, что сторона A1D1 параллельна стороне NP и параллельна стороне AD.

9)Противоположные грани ABB1A1 и DCC1D1 параллелепипеда по свойству параллельны, а отрезки параллельных прямых заключенных между параллельными плоскостями равны, значит отрезки В1С1, LM, AD,NP равны.

Получено, что в четырехугольниках ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD две стороны параллельны и равны, значит они параллелограммы. Тогда наша поверхность ALMDNB1C1P состоит из шести параллелограммов, два из которых равны, а по определению это параллелепипед.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед – это такой прямой параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.

Достаточно посмотреть вокруг себя, и мы увидим, что окружающие нас предметы имеют форму похожую на параллелепипед. Они могут отличать по цвету, иметь массу дополнительных деталей, но если эти тонкости отбросить, то можно сказать, что например шкаф, коробка и т.д., имеют приблизительно одинаковую форму.

С понятием прямоугольного параллелепипеда мы сталкиваемся практически каждый день! Оглянитесь вокруг и скажите, где вы видите прямоугольные параллелепипеды? Посмотрите на книгу, ведь она как раз такой формы! Эту же форму имеют кирпич, спичечный коробок, деревянный брусок, и даже прямо сейчас вы находитесь внутри прямоугольного параллелепипеда, ведь классная комната – это ярчайшая интерпретация этой геометрической фигуры.

Задание: А какие примеры параллелепипеда вы можете назвать?

Давайте более тщательно рассмотрим прямоугольный параллелепипед. И что мы видим?

Во-первых, мы видим, что эта фигура образована из шести прямоугольников, которые являются гранями прямоугольного параллелепипеда;

Во-вторых, прямоугольный параллелепипед имеет восемь вершин и двенадцать ребер. Ребра прямоугольного параллелепипеда – это стороны его граней, а вершины параллелепипеда являются вершинами граней.

Задание:

1. Какое название носит каждая из граней прямоугольного параллелепипеда? 2. Благодаря каким параметрам можно измерить параллелограмм? 3. Дайте определение противоположных граней.

Виды параллелепипедов

Но параллелепипеды бывают не только прямоугольными, но также они могут¬¬ быть прямыми и наклонными, а прямые как раз таки и делятся на прямоугольные, непрямоугольные и кубы.

Задание: Посмотрите на картинку и скажите, какие параллелепипеды на ней изображены. Чем прямоугольный параллелепипед отличается от куба?


Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладаем рядом важнейших свойств:

Во-первых, квадрат диагонали этой геометрической фигуры равняется сумме квадратов трех его основных параметров: высоты, ширины и длины.

Во-вторых, все его четыре диагонали абсолютно идентичны.

В-третьих, если все три параметра параллелепипеда одинаковы, то есть длина, ширина и высота равны, то такой параллелепипед называют кубом, и все его грани будут равны одному и тому же квадрату.



Задание

1. Имеет ли прямоугольный параллелепипед равные грани? Если таковы имеются, то покажите их на рисунке. 2. Из каких геометрических форм состоят грани прямоугольного параллелепипеда? 3. Какое расположение имеют равные грани по отношению друг к другу? 4. Назовите количество пар равных граней данной фигуры. 5. Найдите в прямоугольном параллелепипеде ребра, которые обозначают его длину, ширину, высоту. Сколько вы их насчитали?

Задача

Чтобы красиво оформить подарок на день Рождения маме, Таня взяла коробку в форме прямоугольного параллелепипеда. Размер данной коробки 25см*35см*45см. Чтобы сделать эту упаковку красивой, Таня решила, оклеит ее красивой бумагой, стоимость которой 3 гривны за 1 дм2. Сколько нужно потратить денег на упаковочную бумагу?

А вы знаете, что известный иллюзионист Девид Блейн в рамках эксперимента провел 44 дня в стеклянном параллелепипеде, подвешенном над Темзой. Эти 44 дня он не ел, а только пил воду. В свое добровольное узилище Девид взял только письменные принадлежности, подушку и матрас и носовые платки.

Цели урока:

1. Образовательные:

Ввести понятие параллелепипеда и его видов;
- сформулировать (используя аналогию с параллелограммом и прямоугольником) и доказать свойства параллелепипеда и прямоугольного параллелепипеда;
- повторить вопросы, связанные с параллельностью и перпендикулярностью в пространстве.

2. Развивающие:

Продолжить развитие у учащихся таких познавательных процессов, как восприятие, осмысление, мышление, внимание, память;
- способствовать развитию у учащихся элементов творческой деятельности как качеств мышления (интуиция, пространственное мышление);
- формировать у учащихся умение делать выводы, в том числе – по аналогии, что помогает осознать внутрипредметные связи в геометрии.

3. Воспитательные:

Способствовать воспитанию организованности, привычки к систематическому труду;
- способствовать формированию эстетических навыков при оформлении записей, выполнения чертежей.

Тип урока: урок-изучение нового материала (2 часа).

Структура урока:

1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Подведение итогов и постановка домашнего задания.

Оборудование: плакаты (слайды) с доказательствами, модели различных геометрических тел, в том числе – все виды параллелепипедов, графопроектор.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

Сообщение темы урока, формулировка вместе с учащимися цели и задач, показ практической значимости изучения темы, повторение ранее изученных вопросов, связанных с данной темой.

3. Изучение нового материала.

3.1. Параллелепипед и его виды.

Демонстрируются модели параллелепипедов с выявлением их особенностей, помогающих сформулировать определение параллелепипеда, используя понятие призмы.

Определение:

Параллелепипедом называется призма, основанием которой является параллелограмм.

Выполняется чертёж параллелепипеда (рисунок 1), перечисляются элементы параллелепипеда как частного случая призмы. Демонстрируется слайд 1.

Схематическая запись определения:

Формулируются выводы из определения:

1) Если ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – призма и ABCD – параллелограмм, то ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед .

2) Если ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед , то ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – призма и ABCD – параллелограмм.

3) Если ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не призма или ABCD – не параллелограмм, то
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не параллелепипед .

4) . Если ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не параллелепипед , то ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не призма или ABCD – не параллелограмм.

Далее рассматриваются частные случаи параллелепипеда с построением схемы классификации (см. рис.3), демонстрируются модели и выделяются характеристические свойства прямого и прямоугольного параллелепипедов, формулируются их определения.

Определение:

Параллелепипед называется прямым, если его боковые рёбра перпендикулярны к основанию.

Определение:

Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые рёбра перпендикулярны к основанию, а основанием является прямоугольник (см. рисунок 2).

После записи определений в схематичном виде формулируются выводы из них.

3.2. Свойства параллелепипедов.

Поиск планиметрических фигур, пространственными аналогами которых являются параллелепипед и прямоугольный параллелепипед (параллелограмм и прямоугольник). В данном случае имеем дело с визуальным сходством фигур. Используя правило вывода по аналогии, заполняются таблицы.

Правило вывода по аналогии:

1. Выбрать среди ранее изученных фигур фигуру, аналогичную данной.
2. Сформулировать свойство выбранной фигуры.
3. Сформулировать аналогичное свойство исходной фигуры.
4. Доказать или опровергнуть сформулированное утверждение.

После формулировки свойств проводится доказательство каждого из них по следующей схеме:

  • обсуждение плана доказательства;
  • демонстрация слайда с доказательством (слайды 2 – 6);
  • оформление учащимися доказательства в тетрадях.

3.3 Куб и его свойства.

Определение: Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны.

По аналогии с параллелепипедом учащиеся самостоятельно делают схематическую запись определения, выводят следствия из него и формулируют свойства куба.

4. Подведение итогов и постановка домашнего задания.

Домашнее задание:

  1. Используя конспект урока, по учебнику геометрии для 10-11 классов, Л.С. Атанасян и др., изучить гл.1, §4, п.13, гл.2, §3, п.24.
  2. Доказать или опровергнуть свойство параллелепипеда, п.2 таблицы.
  3. Ответить на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы.

1. Известно, что только две боковые грани параллелепипеда перпендикулярны основанию. Какого вида параллелепипед?

2. Сколько боковых граней прямоугольной формы может иметь параллелепипед?

3. Возможен ли параллелепипед, у которого только одна боковая грань:

1) перпендикулярна основанию;
2) имеет форму прямоугольника.

4. В прямом параллелепипеде все диагонали равны. Является ли он прямоугольным?

5. Верно ли, что в прямом параллелепипеде диагональные сечения перпендикулярны плоскостям основания?

6. Сформулируйте теорему, обратную теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда.

7. Какие дополнительные признаки отличают куб от прямоугольного параллелепипеда?

8. Будет ли кубом параллелепипед, в котором равны все рёбра при одной из вершин?

9. Сформулируйте теорему о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда для случая куба.